{"id":3382,"date":"2023-07-05T14:11:22","date_gmt":"2023-07-05T14:11:22","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mioc.hr\/mmc\/?p=3382"},"modified":"2023-07-06T08:22:15","modified_gmt":"2023-07-06T08:22:15","slug":"2-48","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mioc.hr\/mmc\/?p=3382","title":{"rendered":"Matematika i glazba – potpune suprotnosti ili srodna podru\u010dja?"},"content":{"rendered":"

\u010cesto gledamo znanstvene i umjetni\u010dke discipline, pa tako i matematiku i glazbu, kao nekakve suprotnosti. Razum, logika i pravilnost nasuprot emociji, izra\u017eajnosti i spontanosti. No je li odnos me\u0111u njima zaista takav, ili ipak imaju ne\u0161to zajedni\u010dko?<\/span>\u00a0<\/span><\/p>\n

Kako uop\u0107e \u201epravilno\u201d istra\u017eiti povezanost matematike i glazbe?<\/span><\/b>\u00a0<\/span><\/p>\n

Ako \u017eelimo na\u0107i poveznice izme\u0111u matematike i glazbe, sigurno ima smisla potra\u017eiti matemati\u010dke elemente u glazbenim djelima. No tada je jako bitno uzeti u obzir jednu stvar. Tijekom gotovo cijele glazbene povijesti, a pogotovo u 20. stolje\u0107u, skladatelji su \u010desto primjenjivali odre\u0111ena matemati\u010dka pravila u procesu skladanja. No te\u0161ko je dokazati \u201eprirodnu\u201c povezanost matematike i glazbe ako gledamo slu\u010dajeve u kojima je matematika \u201enamjerno\u201c dospjela u glazbu odlukom skladatelja. Zato je najbolje prou\u010diti one situacije u kojima je najprije do\u0161la glazba, a tek kasnije matematika, koja ju opisuje i obja\u0161njava. Za takve se situacije mo\u017ee re\u0107i da u njima \u201ematematika proizlazi iz glazbe, a ne glazba iz matematike\u201c. U nastavku slijedi nekoliko takvih primjera.<\/span>\u00a0<\/span><\/p>\n

Harmonija \u2013 matematika iza skladnih i neskladnih kombinacija tonova<\/span><\/b>\u00a0<\/span><\/p>\n

U gotovo svakoj skladbi \u010dut \u0107ete, osim glavne melodije, i akorde koji \u201epodupiru\u201c melodiju i daju joj ve\u0107i izra\u017eaj. Akordi su zapravo kombinacije razli\u010ditih tonova odsviranih u istom trenutku. Ve\u0107ina akorada koje \u010dujete zvu\u010di ugodno \u2013 tonovi koji ih \u010dine me\u0111usobno su skladni. Ali ima i akorda koji zvu\u010de vrlo neugodno jer sadr\u017ee me\u0111usobno neskladne tonove. Skladnost tonova vjerojatno se \u010dini kao ne\u0161to \u0161to je previ\u0161e subjektivno, previ\u0161e povezano s na\u0161im osje\u0107ajima da bi se moglo matemati\u010dki opisati. Doista, ne reagiramo svi jednako na odre\u0111ene akorde \u2013 to prije svega ovisi o vrstama glazbe kojima smo najvi\u0161e izlo\u017eeni, jer harmonija se mo\u017ee jako razlikovati u razli\u010ditim \u017eanrovima. Ipak, ve\u0107ina bi ljudi sli\u010dno definirala skladnije i manje skladne kombinacije tonova, a mo\u017eda je najzanimljivije to \u0161to se skladnost mo\u017ee opisati prili\u010dno jednostavnom matematikom.<\/span>\u00a0<\/span><\/p>\n

Svaki ton koji \u010dujemo ima svoju frekvenciju, a skladnost nekog para tonova ovisi o omjeru njihovih frekvencija. Ako se taj omjer mo\u017ee zapisati kao omjer dvaju malih prirodnih brojeva (kao omjeri 1:2, 3:4, 4:5), taj je par tonova skladan. S druge strane, ako se to\u010dan omjer frekvencija mo\u017ee zapisati samo kori\u0161tenjem ve\u0107ih brojeva (npr. 16:17, 20:23), radi se o neskladnim tonovima. Op\u0107enito, \u0161to su brojevi koji opisuju omjer frekvencija ve\u0107i, to je par tonova neskladniji. Razlog le\u017ei u tzv. <\/span>alikvotnom <\/span><\/b>ili <\/span>harmonijskom nizu<\/span><\/b> \u2013 to je niz tonova koje \u010dujemo kao popratne tonove nekog osnovnog tona. Naime, ako odsviramo ton frekvencije <\/span>f<\/span><\/i>, uz njega \u0107e se javiti ti\u0161i, popratni tonovi frekvencija <\/span>2f, 3f, 4f…<\/span><\/i>, pri \u010demu su glasniji oni tonovi koji se javljaju prije u nizu. Zato upravo oni tonovi koji s tonom frekvencije <\/span>f<\/span><\/i> daju \u201enajjednostavniji\u201c omjer, imaju najsli\u010dnije harmonijske nizove, \u0161to rezultira \u010di\u0161\u0107im zvukom s manje razli\u010ditih frekvencija \u2013 to je upravo ono \u0161to na\u0161e uho percipira kao skladnost.<\/span>\u00a0<\/span><\/p>\n

Matematika u glazbenoj formi<\/span><\/b>\u00a0<\/span><\/p>\n

Na po\u010detku se javi jedna melodija, jedna ideja, koja se zatim ponavlja, razvija, s raznim varijacijama… i onda odjednom dolazimo u potpuno druga\u010diju situaciju, s novim melodijama, novim akordima u pratnji, kao da \u010ditamo roman i sti\u017eemo do zapleta. Zatim se i taj novi dio razvija u novom smjeru, napetost raste sve dok ne do\u0111emo do samog vrhunca skladbe… tada se sve smiri, a ona melodija sa samog po\u010detka skladbe, koju smo gotovo i zaboravili tijekom cijelog zapleta, opet nam se javi, daju\u0107i osje\u0107aj povratka, zaklju\u010dka, zavr\u0161etka.<\/span>\u00a0<\/span><\/p>\n

Opisana je tzv. ABA forma, jedna od naj\u010de\u0161\u0107ih formi koje mo\u017eete na\u0107i u skladbama. Slova A, B, A ozna\u010davaju dijelove skladbe, pri \u010demu je A po\u010detni dio, a B sredi\u0161nji, koji je naj\u010de\u0161\u0107e u kontrastu s A dijelom kako bi se stvorio osje\u0107aj zapleta, napetosti. U mnogim pop pjesmama prona\u0107i \u0107ete forme kao ABABAB, u kojima A ozna\u010dava standardne strofe, a B refren. Neovisno o \u017eanru koji slu\u0161ate, skladbe \u0107e uglavnom imati neku pravilnost u formi, bila to simetrija ABA forme, periodi\u010dnost ABABAB ili neki tre\u0107i uzorak. Naravno, moglo bi se re\u0107i da to nije potpuno prirodno svojstvo glazbe, jer skladatelji naj\u010de\u0161\u0107e unaprijed odabere pravilnu formu za skladbu. No ako razmislimo o razlozima biranja takve forme, mo\u017ee se zaklju\u010diti da uglavnom nije ideja posti\u0107i savr\u0161enu pravilnost i slijediti pravila matematike, nego stvoriti djelo koje pri\u010da interesantnu pri\u010du i povezuje sve elemente u zaokru\u017eenu cjelinu. Zato se sigurno mo\u017ee re\u0107i da je i pravilnost forme jedan od onih slu\u010dajeva kad \u201ematematika proizlazi iz glazbe\u201c.<\/span>\u00a0<\/span><\/p>\n

Zlatni rez i Fibonaccijev niz… u glazbi?<\/span><\/b>\u00a0<\/span><\/p>\n

Vjerojatno najpoznatiji niz u matematici, Fibonaccijev niz, po\u010dinje s 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… i rekurzivno se definira kao F<\/span>n<\/span> = F<\/span>n-1<\/span> + F<\/span>n-2<\/span>, odnosno svaki je broj zapravo zbroj dvaju prethodnih. Fibonaccijevi se brojevi, zapravo, neo\u010dekivano pojavljuju u samoj osnovi glazbene teorije:<\/span>\u00a0<\/span><\/p>\n