Često gledamo znanstvene i umjetničke discipline, pa tako i matematiku i glazbu, kao nekakve suprotnosti. Razum, logika i pravilnost nasuprot emociji, izražajnosti i spontanosti. No je li odnos među njima zaista takav, ili ipak imaju nešto zajedničko?
Kako uopće „pravilno” istražiti povezanost matematike i glazbe?
Ako želimo naći poveznice između matematike i glazbe, sigurno ima smisla potražiti matematičke elemente u glazbenim djelima. No tada je jako bitno uzeti u obzir jednu stvar. Tijekom gotovo cijele glazbene povijesti, a pogotovo u 20. stoljeću, skladatelji su često primjenjivali određena matematička pravila u procesu skladanja. No teško je dokazati „prirodnu“ povezanost matematike i glazbe ako gledamo slučajeve u kojima je matematika „namjerno“ dospjela u glazbu odlukom skladatelja. Zato je najbolje proučiti one situacije u kojima je najprije došla glazba, a tek kasnije matematika, koja ju opisuje i objašnjava. Za takve se situacije može reći da u njima „matematika proizlazi iz glazbe, a ne glazba iz matematike“. U nastavku slijedi nekoliko takvih primjera.
Harmonija – matematika iza skladnih i neskladnih kombinacija tonova
U gotovo svakoj skladbi čut ćete, osim glavne melodije, i akorde koji „podupiru“ melodiju i daju joj veći izražaj. Akordi su zapravo kombinacije različitih tonova odsviranih u istom trenutku. Većina akorada koje čujete zvuči ugodno – tonovi koji ih čine međusobno su skladni. Ali ima i akorda koji zvuče vrlo neugodno jer sadrže međusobno neskladne tonove. Skladnost tonova vjerojatno se čini kao nešto što je previše subjektivno, previše povezano s našim osjećajima da bi se moglo matematički opisati. Doista, ne reagiramo svi jednako na određene akorde – to prije svega ovisi o vrstama glazbe kojima smo najviše izloženi, jer harmonija se može jako razlikovati u različitim žanrovima. Ipak, većina bi ljudi slično definirala skladnije i manje skladne kombinacije tonova, a možda je najzanimljivije to što se skladnost može opisati prilično jednostavnom matematikom.
Svaki ton koji čujemo ima svoju frekvenciju, a skladnost nekog para tonova ovisi o omjeru njihovih frekvencija. Ako se taj omjer može zapisati kao omjer dvaju malih prirodnih brojeva (kao omjeri 1:2, 3:4, 4:5), taj je par tonova skladan. S druge strane, ako se točan omjer frekvencija može zapisati samo korištenjem većih brojeva (npr. 16:17, 20:23), radi se o neskladnim tonovima. Općenito, što su brojevi koji opisuju omjer frekvencija veći, to je par tonova neskladniji. Razlog leži u tzv. alikvotnom ili harmonijskom nizu – to je niz tonova koje čujemo kao popratne tonove nekog osnovnog tona. Naime, ako odsviramo ton frekvencije f, uz njega će se javiti tiši, popratni tonovi frekvencija 2f, 3f, 4f…, pri čemu su glasniji oni tonovi koji se javljaju prije u nizu. Zato upravo oni tonovi koji s tonom frekvencije f daju „najjednostavniji“ omjer, imaju najsličnije harmonijske nizove, što rezultira čišćim zvukom s manje različitih frekvencija – to je upravo ono što naše uho percipira kao skladnost.
Matematika u glazbenoj formi
Na početku se javi jedna melodija, jedna ideja, koja se zatim ponavlja, razvija, s raznim varijacijama… i onda odjednom dolazimo u potpuno drugačiju situaciju, s novim melodijama, novim akordima u pratnji, kao da čitamo roman i stižemo do zapleta. Zatim se i taj novi dio razvija u novom smjeru, napetost raste sve dok ne dođemo do samog vrhunca skladbe… tada se sve smiri, a ona melodija sa samog početka skladbe, koju smo gotovo i zaboravili tijekom cijelog zapleta, opet nam se javi, dajući osjećaj povratka, zaključka, završetka.
Opisana je tzv. ABA forma, jedna od najčešćih formi koje možete naći u skladbama. Slova A, B, A označavaju dijelove skladbe, pri čemu je A početni dio, a B središnji, koji je najčešće u kontrastu s A dijelom kako bi se stvorio osjećaj zapleta, napetosti. U mnogim pop pjesmama pronaći ćete forme kao ABABAB, u kojima A označava standardne strofe, a B refren. Neovisno o žanru koji slušate, skladbe će uglavnom imati neku pravilnost u formi, bila to simetrija ABA forme, periodičnost ABABAB ili neki treći uzorak. Naravno, moglo bi se reći da to nije potpuno prirodno svojstvo glazbe, jer skladatelji najčešće unaprijed odabere pravilnu formu za skladbu. No ako razmislimo o razlozima biranja takve forme, može se zaključiti da uglavnom nije ideja postići savršenu pravilnost i slijediti pravila matematike, nego stvoriti djelo koje priča interesantnu priču i povezuje sve elemente u zaokruženu cjelinu. Zato se sigurno može reći da je i pravilnost forme jedan od onih slučajeva kad „matematika proizlazi iz glazbe“.
Zlatni rez i Fibonaccijev niz… u glazbi?
Vjerojatno najpoznatiji niz u matematici, Fibonaccijev niz, počinje s 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… i rekurzivno se definira kao Fn = Fn-1 + Fn-2, odnosno svaki je broj zapravo zbroj dvaju prethodnih. Fibonaccijevi se brojevi, zapravo, neočekivano pojavljuju u samoj osnovi glazbene teorije:
- Oktava je interval od nekog tona do idućeg tona s istim imenom, npr. od tona C do prvog višeg tona C. Unutar jedne oktave nalazi se ukupno 13 tonova. Ako gledamo oktavu na klaviru, ona se sastoji od 5 crnih i 8 bijelih tipki.
- Ljestvica je niz tonova koji počinje i završava istim tonom, a ima točno određene razmake između susjednih tonova – ti razmaci određuju je li ljestvica durska, molska ili neka druga. Većina ljestvica sadrži ukupno 8 tonova.
- Osnovni je akord u svakoj ljestvici akord na 1. tonu te ljestvice, a on se sastoji od 1., 3. i 5. tona u ljestvici. 5. ton u ljestvici ujedno je i 8. ton u oktavi koju ta ljestvica određuje.
Navedeni primjeri Fibonaccijevih brojeva u glazbi nisu tamo „stavljeni“ kako bi se zadovoljila matematička pravila, nego su prirodno proizašli iz naše percepcije glazbe, slično kao što je u prirodi moguće naći oblike koji precizno odgovaraju pravilima i omjerima Fibonaccijeva niza. Također, Fibonaccijev je niz vrlo usko povezan s tzv. zlatnim rezom – omjerom koji se smatra savršenim u brojnim granama umjetnosti. Iako se zlatni rez najviše veže uz vizualne umjetnosti, prisutan je i u glazbi – značajni trenuci u skladbama, poput prijelaza s jednog dijela na njemu kontrastni glazbeni zaplet, ili čak vrhunca cijele skladbe, često se nalaze upravo na granici koju bismo dobili da skladbu podijelimo zlatnim rezom. Neki su skladatelji svjesno koristili zlatni rez pri određivanju forme, no u brojnim je situacijama on iz glazbenog djela proizašao slučajno, kao rezultat skladateljeva pokušaja da svoju glazbenu ideju prenese što ljepše i cjelovitije.
I, što nam te poveznice zapravo govore o matematici i glazbi?
Ispostavlja se da u glazbi stvarno možemo naći neke matematičke uzorke i pravila. Znači li to da je glazba malo „znanstvenije” područje nego što se čini na prvi pogled, ili pak matematika u sebi krije više umjetnosti nego što bismo na prvu pomislili? Vjerojatno je oboje djelomice točno, no zapravo najviše ovisi o stavu koji zauzmemo. Umjetnici će pronaći ljepotu i prostor za originalnost čak i u svijetu naizgled potpuno određenom pravilima, kao što je matematika. S druge strane, ljubitelji pravila, uzoraka i logičkih slijedova sigurno će naći bar malo reda i u najkaotičnijim glazbenim djelima. Ipak, koji god stav zauzeli, sigurno ćete u nekim trenucima naići na umjetnost u znanosti, kao i znanost u umjetnosti, jer ta dva područja, čini se, ne idu jedno bez drugoga.
Literatura:
Natko Devčić, Harmonija. Zagreb, 1993.
Tekst: Lara Semeš, 3. F
Naslovna fotografija: Darius na Unsplash